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腦力謎題每週二、四、六直送你信箱!
2015/06/02
難度:

對於任一正整數,一定可以找到一個他的倍數,且完全由 1 和 0 構成,如:

  • 3:可找到 3 的倍數“1110”,完全由 1 和 0 構成
  • 4:可找到 4 的倍數“100”,完全由 1 和 0 構成

怎麼知道這是對的?又怎麼找到這種數字呢?

◎本題引用自遊戲學校,網友urostigma提供


看答案(先動腦想想,再看答案,腦力才會增加喔!)

若給予一個正整數N,
可以先列出 1 到(N+1)位數且完全由1所組成的數字,
例:N=7,則列出1、11、111、1111、11111、111111、1111111、11111111 八個數字。

再將每個數字都除 7 再取餘數,
如 N=7 時,各數字的餘數依序為1、4、6、5、2、0、1、4;
由於「鴿籠原理」,共有 N+1 個數字而餘數可能性只有 N 個( 0 到 N-1),
所以必定有兩個數字取的餘數相同
此時必可取出兩個餘數相同的數,並將這兩數相減(大減小)取差值,
得出的這個差值必可被 N 整除,而且只會由 1 和 0 組成。

你答對了嗎?
(不確定答案怎麼解出來的嗎?快到粉絲團遊戲學校去看看大家的解法吧!)